Kiedy powtórzy się rozkład kart?

 

W tematyce skatowej porusza się m. in. taki problem : "na ile sposobów mogą rozłożyć się karty u graczy?". Następuje wyliczenie: 

Później po krótkich dywagacjach nt. nazw wielkich liczb, tj.: miliardów, bilionów, trylionów itp. następuje stwierdzenie: "gdyby jedno rozdanie rozgrywano 1 minutę to rozegranie 2.753 bilionów rozdań przez 24 godziny na dobę przez wszystkie dni w roku zajęłoby 5,2 miliardów lat.".

Wniosek: rozdanie kart powtórzy się (tzn. gracz otrzyma te same karty) dopiero po 2.753 bilionach rozdań.

O ile wyliczenia są poprawne to wniosek wyciągnięto zbyt pochopnie.

Problem urodzin.

Powyższe zagadnienie jest znane w rachunku prawdopodobieństwa pod nazwą problemu urodzin.

Każdy człowiek raz w roku ma urodziny. Aby nie komplikować to umówmy się, że rok ma zawsze 365 dni, a 29 luty nie istnieje. Pochopny wniosek z problemu skatowego można by przetłumaczyć tak: "dopiero w grupie 366 osobowej znajdziemy dwie osoby, które obchodzą urodziny w tym samym dniu." Zastanawiając się nad tym głębiej można dojść do wniosku że przecież już w przypadkowej grupie dwuosobowej mogą się znaleźć osoby o identycznym dniu urodzin - oczywiście z bardzo małym prawdopodobieństwem, ale nie zerowym! Prawdopodobieństwo to będzie rosło wraz z licznością grupy, aby dojść do 1 dla grupy 366 osobowej. W związku z tym możemy zadawać pytania, np. "jak liczna musi być grupa, aby prawdopodobieństwo p znalezienia w niej dwóch osób o identycznej dacie urodzin wyniosło 50% (albo 80% albo 95% itp.)?

Aby odpowiedzieć na to pytanie musimy zastosować pewien matematyczny chwyt - łatwiej jest bowiem policzyć prawdopodobieństwo takiego zdarzenia w którym w grupie dwuosobowej nikt nie ma urodzin w tym samym dniu co inna osoba - oznaczmy je przez q. Wtedy:

p=1-q

Dla dwuosobowej grupy będziemy mieli:

1) dla pierwszej osoby 365 możliwości dla daty jej urodzin (bo tyle jest dni w roku),

2) dla drugiej osoby już tylko 364 możliwości dla daty urodzin (bo jedna data już jest zajęta przez osobę nr 1).

Będzie więc 365*364=132.860 różnych możliwości ułożenia dat aby dwie osoby nie miały urodzin w tym samym dniu, na ilość wszystkich możliwości ułożenia dat: 365*365=133.225. W związku z tym prawdopodobieństwo q wyniesie:

q=132.860 / 133.225 = 0,99726

Prawdopodobieństwo, że w grupie dwuosobowej będą dwie osoby o identycznej dacie urodzin wyniesie:

p = 1 - q = 1 - 0,99726

p = 0,00274 = 0,274%

Dla grupy trzyosobowej:

zaś ogólnie:

Licznik powyższego ułamka możemy zapisać inaczej i wtedy otrzymamy:

Powracając do postawionych pytań i rozwiązując powyższe równanie otrzymamy: 

dla p

liczność k

50%

23

80%

35

95%

47

  Jeżeli będziemy mieli pewną ilość grup 23 osobowych, to przynajmniej w połowie z nich dwie osoby z grupy będą miały urodziny w tym samym dniu. Ale, uwaga - mówimy o jakimś dniu, a nie w konkretnym dniu jaki byśmy wskazali. Gdyby pytanie zmieniło się na: "jak liczna musi być grupa osób, aby z prawdopodobieństwem p można było stwierdzić, że dwie osoby mają urodziny w dniu np. 22 maja?" to niestety liczność grupy znacznie by wzrosła. Dla dwuosobowej grupy będziemy mieli:

1) dla pierwszej osoby 364 możliwości dla daty jej urodzin (bo dana data jest już zajęta bo liczymy q a nie p),

2) dla drugiej osoby 364 możliwości dla daty urodzin (bo tylko jedna data jest zajęta, a zdarzenia są niezależne). Dla dwu osób otrzymamy:

ogólnie dla k osób:

Rozwiązując powyższe równanie otrzymamy: 

dla p

liczność k

50%

253

80%

587

95%

1092

  Jeżeli będziemy mieli pewną ilość grup 253 osobowych, to przynajmniej w połowie z nich dwie osoby z grupy będą miały urodziny w dniu przez nas podanym. Proszę zwrócić uwagę: w pierwszym zagadnieniu (jakieś dwie dowolne daty) pewność (czyli jedynka) była przy 366 osobie, zaś w drugim zagadnieniu może być taki przypadek, że nawet w grupie pięciotysięcznej nie będzie drugiej osoby o wskazanej przez nas dacie urodzin.

Powrót do skata.

Wróćmy teraz do skata. Ktoś powie po co tyle gadki - nie można było od razu?  Otóż można było, ale drogi czytelniku zwróć wpierw uwagę na poniższe porównanie:

 

Skat

Urodziny

Ilość możliwości n:

 2,7 biliardów

365

Liczność grupy k:

miliony

23 do 47

Dla przypomnienia wzór ogólny:

Trzeba zastosować parę chwytów matematycznych: zamiana silni na potęgi stosując wzór Stirlinga, logarytmowanie i zastosowanie wysokiej precyzji obliczeń stosując programy matematyczne. Zwykłe arkusze kalkulacyjne czy kalkulatory się nie nadają, gdyż pojawiają się człony: n*ln(n) czy k*ln(n), wymagana jest znajomość logarytmów z co najmniej 20 cyfr po przecinku. Z kolei upraszczanie i doprowadzenie do postaci (pierwsze zagadnienie):

powoduje nieznaczne zmniejszenie dokładności.

Podsumowanie.

Ze względu na skomplikowane rachunki podam rozwiązanie:

1.         Ile trzeba wykonać rozdań, aby z prawdopodobieństwem p powtórzył się jakiś rozkład?       
Odpowiedź:    

dla p

liczność k

Jedno rozdanie 1 min, to przez 24/365,25 da:

50%

61.780.876

117,5 roku

80%

94.140.920

179 lat

95%

128.437.790

244 lata

 

2.                  Ile trzeba wykonać rozdań, aby z prawdopodobieństwem p powtórzył się konkretny (upatrzony) rozkład?    
Odpowiedź:

dla p

liczność k

Jedno rozdanie 1 min, to przez 24/365,25 da:

50%

1.908.438.256.506.454

3.628.485.543 lat

80%

4.431.256.405.140.189

8.425.082.526 lat

95%

8.248.132.918.153.095

15.682.053.613 lat

Na koniec pamiętajmy o jednym, prawdopodobieństwa mówiące o zdarzeniach są prawdziwe dla bardzo dużych ilości prób. Tych stolików skatowych przy, których testowano by rozkłady kart powinno być nieskończenie wiele. Bo cóż z tego, że prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki przy rzucie monetą wynosi 50%, jak zdarzają się serie kolejnych rzutów w których np. 10 razy pod rząd wypadnie orzeł i są to rzuty prawidłowe, ale to już temat na inną opowieść.

Powrót.